声優デビューは海外アニメ『レポーター・ブルース』（1991年）での農夫役の吹き替え。1993年、『機動戦士Vガンダム』のトマーシュ・マサリク役が初レギュラーとなる。本当は9月7日生まれであるが、両親が「末広がりの八の方が良い」ということで、翌日の9月8日に役所へ出生届けを出した。
現事務所・アトミックモンキーの設立メンバーであり、しばしば関の個人事務所と誤解されるが、長沢美樹や杉田智和など多数の所属者がいるように、関の個人事務所というわけではない。かつては東京俳優生活協同組合に所属していた。
自身のラジオ番組では、後輩の女性声優に自分の陰部を直接つけた上にシャリ部分を舐め回した寿司を何も伝えずに食べさせ、後に事実を伝え笑い者したり、アダルトグッズショップで購入した衣装を着用させてその様子を公開するなど、セクシャルハラスメントおよびパワーハラスメントを常習的に行っている。（智一・美樹のラジオビッグバン十）
俳協時代から現在に至るまで同じ事務所に所属している女性声優の長沢美樹とは19歳頃から4年ほど交際があったものの破局、現在では腐れ縁的な親友関係である。当初は自動車運転免許を持っていなかったが、『頭文字D』の高橋啓介を演じたことを機に、触発されて運転免許を取得した。
自身の出演作以外のアニメは「この役は自分がやりたかった。自分ならこうする」など、出演声優と自分の演技を比べて色々と考えてしまうためあまり見ない。と、インタビューに回答している時代も多々あったが、2010年以降の雑誌インタビューでは、「脇役の研究の為にアニメが見られる時はアニメ鑑賞している。」という回答が多くなっている。
主催する劇団ヘロヘロQカムパニーでは関自身が脚本を書くこともある他、同劇団の定期公演以外にも他劇団の客演をすることもある。